The Proof of Quadratic Formula

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Quadratic Formula 在高中數學中算是一個很常用到的公式,從 Algebra 2, Precalculus到Calculus都會用到,當然只要把公式記好,也就可以用了。

只是說如果單純被一個公式而不知道怎麼來的,不是很枯燥嗎?公式證明,並沒有想像的那麼可怕,而導証公式的過程中,也是大腦邏輯訓練的過程。
首先我們從 ax^2+bx+c=0 開始
我們先對式子左右除以a會得到
x^2+\frac bax+\frac ca=0
接著我們要把左邊變成一個 perfect square

x^2+2\frac b{2a}x=-\frac ca
接著再等號的左右兩邊放上\left(\frac b{2a}\right)^2

得到
x^2+2\frac b{2a}x+\left(\frac b{2a}\right)^2=-\frac ca+\left(\frac b{2a}\right)^2
左邊我們就可以寫成 perfect square 的形式囉,右邊我們就通分一下

\left(x+\frac b{2a}\right)^2=-\frac ca\times\frac{4a}{4a}+\frac{b^2}{4a^2}

在整理一下

\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

我們對左右兩邊同時加上 square root

x+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

最後在整理一下就得到

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

很簡單吧,其實Yogi以前就很討厭被這個公式,所以每次考試都會重新證明一次,結果証著証著,現在駕輕就熟,深深印在腦海裡。

 

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