The Proof of Quadratic Formula

Quadratic Formula 在高中數學中算是一個很常用到的公式，從 Algebra 2, Precalculus到Calculus都會用到，當然只要把公式記好，也就可以用了。

只是說如果單純被一個公式而不知道怎麼來的，不是很枯燥嗎？公式證明，並沒有想像的那麼可怕，而導証公式的過程中，也是大腦邏輯訓練的過程。
首先我們從 $ax^2+bx+c=0$ 開始
我們先對式子左右除以a會得到
$x^2+\frac bax+\frac ca=0$
接著我們要把左邊變成一個 perfect square

$x^2+2\frac b{2a}x=-\frac ca$
接著再等號的左右兩邊放上$\left(\frac b{2a}\right)^2$

得到
$x^2+2\frac b{2a}x+\left(\frac b{2a}\right)^2=-\frac ca+\left(\frac b{2a}\right)^2$
左邊我們就可以寫成 perfect square 的形式囉，右邊我們就通分一下

$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=-\frac ca\times\frac{4a}{4a}+\frac{b^2}{4a^2}$

在整理一下

$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

我們對左右兩邊同時加上 square root

$x+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

最後在整理一下就得到

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

很簡單吧，其實Yogi以前就很討厭被這個公式，所以每次考試都會重新證明一次，結果証著証著，現在駕輕就熟，深深印在腦海裡。