The Proof of Quadratic Formula

Quadratic Formula 在高中數學中算是一個很常用到的公式，從 Algebra 2, Precalculus到Calculus都會用到，當然只要把公式記好，也就可以用了。 只是說如果單純被一個公式而不知道怎麼來的，不是很枯燥嗎？公式證明，並沒有想像的那麼可怕，而導証公式的過程中，也是大腦邏輯訓練的過程。 首先我們從 $$ax^2+bx+c=0$$ 開始 我們先對式子左右除以a會得到 $$x^2+\frac bax+\frac ca=0$$ 接著我們要把左邊變成一個 perfect square $$x^2+2\frac b{2a}x=-\frac ca$$ 接著再等號的左右兩邊放上$$\left(\frac b{2a}\right)^2$$ 得到 $$x^2+2\frac b{2a}x+\left(\frac b{2a}\right)^2=-\frac ca+\left(\frac b{2a}\right)^2$$ 左邊我們就可以寫成 perfect square 的形式囉，右邊我們就通分一下 $$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=-\frac ca\times\frac{4a}{4a}+\frac{b^2}{4a^2}$$ 在整理一下 $$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$ 我們對左右兩邊同時加上 square root $$x+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 最後在整理一下就得到 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 很簡單吧，其實Yogi以前就很討厭被這個公式，所以每次考試都會重新證明一次，結果証著証著，現在駕輕就熟，深深印在腦海裡。